« Sur l’autre corps bidimensionnalisé, on pouvait distinguer les os et les vaisseaux sanguins, et il était aisé de reconnaître chaque partie de son anatomie. Durant le processus de bidimensionnalisation, chaque objet tridimensionnel était projeté selon des principes géométriques précis sur la surface bididimensionnelle… » – Liu Cixin, La Mort immortelle, Actes Sud, 2018

Je lisais il y a quelques mois l’excellente trilogie Le Problème à trois corps de Liu Cixin dans laquelle – sans trop vouloir divulgâcher mais je ne pourrai malheureusement pas y échapper et cette longue phrase vous donne l’occasion d’arrêter votre lecture si cela vous chagrine – des extraterrestres jouent avec les lois de la physique. Certains d’entre eux s’amusent notamment à envoyer des objets effrayants à travers l’espace qui font s’effondrer des dimensions quand quelque chose, comme l’humanité, les contrarie.

L’autre chose, c’est que je cherchais dernièrement une activité pour reposer mon cerveau entre deux parties et analyse de partie d’échecs, car il est assez éprouvant de ratiociner sur ces 64 cases. J’ai donc décidé de commencer un autre loisir en parallèle, celui de me remettre à niveau en deep learning. Comme j’aime penser qu’un jour je comprendrai ce que je fais, j’ai rouvert des bouquins d’algèbre linéaire. Il se trouve que j’ai quasiment tout oublié.

Cependant, hier, alors que j’étais perdu dans un chapitre sur les vecteurs propres (et, on ne va pas se mentir, l’anglais eigenvector a vraiment beaucoup plus de gueule), il m’est soudainement apparu une révélation sur Le Problème à trois corps.

Ces révélations ne sont pas inhabituelles dans l’histoire de l’humanité. Pour prendre un exemple, Poincaré, lui, alors qu’il allait prendre le bus a découvert les objets fuchsiens : « Arrivés à Coutance, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade ; au moment où je mettais le pied sur le marche-pied, l’idée me vint, sans que rien de mes pensées antérieures parut m’y avoir préparé, que les transformations dont j’avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes sont identiques à celles de la Géométrie non-euclidienne. » – Henri Poincaré, Science et Méthode, Flammarion, 1908. Mais ce n’est pas toujours par les transports que ces révélations arrivent et, pour ne prendre qu’un exemple, Pierre Curie aimait assez peu les camions hippomobiles.

Ma contribution à l’humanité est d’avoir identifié que les objets que les extraterrestres de Liu Cixin envoient sont des matrices. Leur arme, c’est le produit matriciel. Au fond, cela rend donc ces armes plus ou moins effrayantes suivant notre aversion pour l’algèbre linéaire.

Reconnaissons toutefois qu’il est particulièrement cool de tenter d’annihiler une civilisation avec des matrices, c’est tellement moins commun et plus fin que de le faire avec des équations différentielles. Aussi, la question se pose de savoir s’il serait possible de réparer les dégats, et donc ressusciter l’humanité ?

Mais déjà, pourquoi dis-je qu’il s’agit de matrices ? Je m’explique, vous allez voir c’est assez simple. Si l’on définit un vecteur \(\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}\) comme un vecteur à deux dimensions dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\) alors on a par définition \(\boldsymbol{v} = v_{1} \times \vec{i} + v_{2} \times \vec{j}\).

Soit une matrice \(\boldsymbol{A}\) de taille \((m,2\)). Si l’on pose \( \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ \vdots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} = v_{1} \times \begin{bmatrix} a_{1,1} \\ \vdots\\ a_{m,1} \end{bmatrix} + v_{2} \times \begin{bmatrix} a_{1,2} \\ \vdots\\ a_{m,2} \end{bmatrix} \)

On remarque que les deux vecteurs colonnes composant \(\boldsymbol{A}\) peuvent être vus comme les vecteurs d’un nouveau repère \((O, \vec{a_{*,1}}, \vec{a_{*,2}})\) dans lequel on va représenter \(\boldsymbol{v}\) suite à sa transformation par \(\boldsymbol{A}\). Autrement dit, \(\vec{a_{*,1}}\) est la transformation de \(\vec{i}\) par \(\boldsymbol{A}\) et \(\vec{a_{*,2}}\) est la transformation de \(\vec{j}\) par \(\boldsymbol{A}\).

Ce qui est amusant et qui ramène à ma révélation, c’est que si l’on pose par exemple que \(m = 3\) et que l’on suppose les vecteurs colonnes de \(\boldsymbol{A}\) linéairement indépendants, alors ce que l’on comprend intuitivement est que la multiplication de \(\boldsymbol{A}\) par le vecteur \(\boldsymbol{v}\) est la projection de \(\boldsymbol{v}\) sur un plan dans un espace à 3 dimensions. De la même manière, et tout le drame est là, si l’on définit \(m = 1\), on se retrouve avec une projection de notre vecteur sur une dimension, une ligne – comme, et ce n’est pas une coïncidence, un produit scalaire.

Ainsi, les extraterrestres utilisent dans Le Problème à trois corps des matrices et un produit matriciel pour arme. Savoir si l’on peut donc sauver l’humanité revient à trouver une matrice inverse \(\boldsymbol{A^{-1}}\), si elle existe, qui annulerait la transformation et restaurerait l’univers tel qu’il existe dans ses glorieuses dimensions. Par exemple, si \(\boldsymbol{A}\) par sa transformation effectuait une rotation de \(45°\), la matrice \(\boldsymbol{A^{-1}}\) serait assez logiquement la rotation de \(-45°\).

Cependant, ici nous perdons une dimension. En perdant une dimension, instinctivement nous comprenons que nous obtiendrons des superpositions qu’il sera impossible de différencier. Plus formellement, le simple fait d’avoir évoqué que \(\boldsymbol{A}\) est une matrice rectangle car de taille (\(1,2)\) nous condamnait, car une matrice inversible est par définition carrée et répond à \(\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{BA} = \boldsymbol{I_{n}}\). Ici, la matrice \(\boldsymbol{A^{-1}}\) n’existe tout simplement pas.

L’humanité peut-elle donc être sauvée ? Non. Ce que j’ai conclu de mes lectures et de ma réflexion est que l’humanité est perdue et l’algèbre linéaire en est la cause.